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3.5 多维随机变量函数的分布

1. 离散型​

1.1 Z=X+YZ=X+Y 型​

定义：设 (X,Y)(X,Y) 为二维离散型随机变量，XX 与 YY 独立，Z=X+YZ=X+Y，则 ZZ 的分布律为

P(Z=zk)=∑i=1∞P(X=xi,Y=zk−xi)P(Z=z_k)=\sum_{i=1}^{\infty}P(X=x_i,Y=z_k-x_i)

此公式也可称为离散卷积公式

600

1.2 一般方法​

550

2. 连续型​

2.1 Z=X+YZ=X+Y 型​

200

2.1.1 一般情况​

对于连续情形，ZZ 的概率密度函数为 fZ(z)=∫−∞∞fX,Y(x,z−x)dxf_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,z-x)dx

==特别的==，若 XX 和 YY 相互独立，该公式也可以写作

fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx=fX(z)∗fY(z)f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx=f_X(z)*f_Y(z)

此公式也称为卷积公式

2.1.2 推广​

已知 (X,Y)(X,Y) 的联合密度 f(x,y)f(x,y)，求 Z=aX+bY+cZ=aX+bY+c 的概率密度，其中 a,b,ca,b,c 为常数。且 a,b≠0a,b \neq 0

则

fZ(z)=1∣b∣∫−∞∞f(x,z−ax−cb)dx=1∣b∣f(x,z−cb)∗fX(x)\begin{aligned} f_Z(z)&=\frac{1}{\lvert b \rvert}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,\frac{z-ax-c}{b})dx\\ &=\frac{1}{\lvert b \rvert}f(x,\frac{z-c}{b})*f_X(x) \end{aligned}

2.1.3 正态随机变量的结论​

若 (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)，则 X+Y∼N(μ1+μ2,σ12+σ22+2ρσ1σ2)X+Y \sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2)

550

2.2 Z=X/YZ=X/Y 型​

200

2.2.1 一般情况​

对于 Z=XYZ=\frac{X}{Y} ，有

fZ(z)=∫−∞∞∣y∣f(yz,y)dyf_Z (z)=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert y \rvert f(yz,y)\mathrm{d}y

若 XX 和 YY 相互独立，则

fZ(z)=∫−∞∞fX(yz)fY(y)∣y∣dyf_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(yz) f_Y(y) \lvert y \rvert \mathrm{d}y

2.3 Z=X2+Y2Z=X^2+Y^2 型​

400

2.4 极值分布​

550

500